Lo que significa ser matemático cuando la IA hace las matemáticas.

A mediados de la década de 2000, cuando la música de los Killers y Franz Ferdinand resonaba en cada pub y discoteca que pasaba, pasé mis días y noches luchando a través de un doctorado en matemáticas aplicadas. Mi investigación se centró en simular cómo las ondas de luz especiales interactúan en cristales líquidos y en utilizar ecuaciones simples para aproximar y entender esas interacciones. Cuando miro mi tesis ahora, la tecnología de cristales líquidos está pasada de moda, e imagino que mi trabajo podría completarse con la asistencia de IA en cuestión de días—quizás horas. Pero lo mismo no se puede decir del trabajo de los estudiantes de doctorado en matemáticas puras con los que compartí una oficina estrecha en la Universidad de Edimburgo. En ese momento, sentía pena por estos colegas, que día tras día se sentaban en sus escritorios, aparentemente despojándose del cabello y sin hacer progresos. (Aunque yo también luchaba, al menos siempre estaba logrando algún avance). Cuando terminamos y tomamos caminos diferentes, algunos ni siquiera habían publicado un artículo. Ahora, con retrospectiva, finalmente entiendo por qué se esforzaron durante años en problemas matemáticos abstractos que solo a un puñado de personas en el mundo les importan. No era arrogancia, como pensé en ese momento; no estaban tratando de probar su inteligencia superior siendo los primeros en resolver un problema matemático aparentemente intratable. Ni siquiera era una forma de masoquismo (que era mi segundo supuesto): penitencia por alguna insuficiencia imaginada. Me di cuenta de que derivaban alegría, satisfacción y significado del largo viaje hacia la comprensión. “A veces, comprender simplemente te parece muy hermoso.” —Jeremy Avigad, Universidad Carnegie Mellon “A veces, comprender simplemente te parece muy hermoso. A veces es una sensación de logro, como completar un maratón,” reflexiona el matemático Jeremy Avigad de la Universidad Carnegie Mellon. “Pero no es exactamente ninguna de esas cosas: es una sensación maravillosa cuando has estado pensando largo y tendido sobre algo complejo, difícil, y luego—de repente—todo simplemente se une.” Este sentimiento ha impulsado a matemáticos a lo largo de la historia. Asimismo, la forma en que los matemáticos persiguen ese sentimiento ha cambiado poco a lo largo de los siglos. Notan o imaginan conexiones, patrones o propiedades en números, formas o estructuras lógicas. A partir de esto, escriben conjeturas—declaraciones no probadas de su especulación. Luego, ellos u otros matemáticos utilizan el razonamiento lógico y las herramientas de las matemáticas de maneras a menudo creativas para probar o refutar esas conjeturas. Finalmente, otros matemáticos verifican (o desafían) las pruebas. Invariablemente, este proceso requiere una gran cantidad de tiempo de reflexión. “Fui a un campamento de matemáticas puras con clases donde nos sentábamos con problemas matemáticos difíciles durante media hora y nadie decía nada—todos estaban pensando,” dice Krystal Maughan, una matemática y científica computacional que está a punto de obtener su doctorado en la Universidad de Vermont. “Pero luego trabajaríamos juntos y de alguna manera sacaríamos el problema.” Esta es la antigua alegría de las matemáticas en acción. Pero los sistemas de IA de hoy están comenzando a hacer incursiones en eludir este lento proceso deliberativo. Llevando esta tendencia a su conclusión lógica, ¿qué sucede si la IA hace que la lucha del matemático sea completamente innecesaria? ¿Podría la IA incluso dejar a la humanidad completamente al margen? El Papel Creciente de la IA en las Matemáticas Durante décadas, la computación ha acelerado el progreso matemático. Esto comenzó hace 50 años, cuando los matemáticos utilizaron una computadora para probar el teorema de los cuatro colores, que pregunta si cualquier mapa puede ser coloreado usando no más de cuatro colores, sin que las regiones adyacentes compartan el mismo color. La respuesta es sí, y la computadora lo demostró, de manera controvertida, al verificar 1,936 casos de una manera que ningún humano podría verificar de manera realista. Sin embargo, a lo largo de esta era computacional, incluso en pruebas que dependen de enormes recursos computacionales, el papel del matemático humano ha permanecido central. Los humanos proponen conjeturas, guiados por la intuición. Idean estrategias para probarlas, guiados por la creatividad y la experiencia. Y los humanos verifican si esas pruebas son correctas. Ahora, la IA está desafiando el status quo. En solo unos pocos años, los grandes modelos de lenguaje (LLMs) han evolucionado de “loros estocásticos,” capaces de poco más que regurgitar matemáticas básicas extraídas de internet, a máquinas de razonamiento matemático avanzadas. El verano pasado, los sistemas de Google DeepMind y OpenAI alcanzaron un nivel equivalente al de los estudiantes de secundaria más dotados matemáticamente del mundo, logrando un estatus de medalla de oro en la Olimpiada Matemática Internacional. En esta competencia anual, los concursantes deben resolver seis problemas notoriamente difíciles de diversas áreas de las matemáticas. A principios de este año, el sistema experimental de IA de Google DeepMind, Aletheia, alcanzó un hito aún más significativo al producir de manera autónoma resultados de investigación a nivel de doctorado que son publicables. Aunque el trabajo en sí es matemáticamente obscuro—calculando constantes estructurales en geometría aritmética—la importancia radica en el razonamiento complejo que mostró al abordar un problema matemático no resuelto. Y más recientemente, un nuevo sistema de IA de propósito general de OpenAI refutó una conjetura importante en geometría combinatoria. Este resultado habría sido digno de publicación en una revista importante de matemáticas si los humanos hubieran sido los autores, y los principales matemáticos elogiaron la hazaña como un hito para la IA en matemáticas, demostrando pensamiento independiente, original y sofisticado. Otro cambio ha surgido de la combinación de LLMs con herramientas matemáticas conocidas como asistentes de prueba, que han existido por más de una década. Estos sistemas—como Isabelle, Lean y Rocq—son lenguajes de programación especializados que verifican pruebas matemáticas paso a paso, verificando su corrección lógica. Tradicionalmente, los matemáticos han tenido que traducir sus teoremas y pruebas a este formato legible por máquinas manualmente, un proceso laborioso conocido como formalización. Ahora, los LLMs están comenzando a eliminar este cuello de botella, automatizando la traducción de pruebas informales a código formal que los asistentes de prueba pueden verificar. De Prueba Humana a Prueba Formal La famosa prueba de Euclides de que hay infinitos números primos aparece muy diferente cuando se formaliza en Lean, un asistente de prueba. Los matemáticos humanos rutinariamente omiten pasos y confían en un entendimiento compartido; la formalización hace que cada suposición e inferencia sea explícita para que una computadora pueda verificar la prueba. PRUEBA HUMANA Queremos mostrar que para cada número natural n, hay un primo p que es al menos n. Considera el menor factor primo de n! + 1. Llamémosle p. Es obviamente primo. Para mostrar que p es al menos n, supongamos, para contradicción, que no lo es. Entonces p divide claramente n!, así que también divide (n! + 1) − n! = 1. Pero esto es imposible: p es primo y 1 no tiene divisores primos. Así que p es al menos n. PRUEBA EN LEAN /- Teorema de Euclides sobre la **infinitud de los primos**. Aquí dado en la forma: para cada `n`, existe un número primo `p ≥ n`. -/ theorem exists_infinite_primes (n : ℕ) : ∃ p, n ≤ p ∧ Prime p := 1let p := minFac (n ! + 1) have f1 : n ! + 1 ≠ 1 := ne_of_gt <| succ_lt_succ <| factorial_pos _ 2have pp : Prime p := minFac_prime f1 have np : n ≤ p := le_of_not_ge fun h => have h1 : p ∣ n ! := dvd_factorial (minFac_pos _) h 3have h2 : p ∣ 1 := (Nat.dvd_add_iff_right h1).2 (minFac_dvd _) pp.not_dvd_one h2 ⟨p, np, pp⟩ ❶ Las definiciones deben ser explícitas. La prueba define formalmente p como el menor factor primo de n! + 1 antes de poder utilizar esa cantidad. ❷ Las pruebas formales se basan en pruebas formales anteriores. Aquí Lean invoca un teorema previamente verificado que muestra que p es primo. ❸ Los pasos lógicos ocultos se vuelven explícitos. Un matemático humano puede escribir que p “claramente” divide 1. Lean requiere que la prueba invoque un teorema formal sobre divisibilidad y muestre exactamente por qué esa conclusión sigue. Con asistencia técnica de Sidharth Hariharan Versiones de tales sistemas, a veces llamados agentes de razonamiento, se están volviendo altamente sofisticadas. En febrero, por ejemplo, la empresa de IA Math, Inc. utilizó su aspiracionalmente denominado agente de razonamiento Gauss para formalizar una prueba que había ganado a la matemática Maryna Viazovska, del EPFL, en Suiza, una Medalla Fields en 2022. Gauss primero ayudó a los matemáticos humanos a completar la formalización de la solución de Viazovska al problema de empaquetamiento en una esfera de 8 dimensiones en cuestión de días, y luego formalizó de manera autónoma el caso más complicado de 24 dimensiones en solo dos semanas. Tales logros sugieren que la IA ya es capaz de manejar algunas tareas matemáticas que se han considerado durante mucho tiempo exclusivamente humanas. A medida que la tecnología avanza, es probable que más del trabajo diario de los matemáticos humanos se convierta en un terreno justo para la IA. Debate de los Matemáticos sobre el Papel de la IA en el Descubrimiento Los matemáticos humanos podrían convertirse en “sacerdotes de oráculos.” —Yang-Hui He, Instituto Londinense de Ciencias Matemáticas En septiembre de 2025, asistí al 12º Foro de Laureados de Heidelberg—una conferencia anual que reúne a cientos de jóvenes matemáticos y científicos de la computación con sus ídolos intelectuales. La IA dominó la conversación y, desde el principio, había tensión en el aire. Los oradores describieron un futuro en el que los matemáticos de IA superhumanos trascienden el conocimiento y las capacidades humanas: formando conjeturas, buscando espacios de solución, probando conjeturas y, finalmente, verificando las pruebas y generalizando los resultados, todo sin la intervención humana. Si este futuro se cumple, declaró memorablemente Yang-Hui He del Instituto Londinense de Ciencias Matemáticas, los matemáticos humanos podrían convertirse en “sacerdotes de oráculos.” Mientras tales predicciones sorprendentes se expresaban en el escenario, mi mirada se dirigía al público. Frunciendo el ceño, inquietos y intercambiando miradas furtivas—la incomodidad de la multitud era palpable. Trill White, un estudiante de la Universidad Deakin de Australia, recordó más tarde que estaba sentado en esa sala pensando: “ ‘Esto es devastador. ¿Qué podrán aportar las personas a las matemáticas? ¿Se convertirá en algo que nadie entienda?’ Tuve la sensación de que esto va a cambiar todo.” “Ciertamente empezamos a darnos cuenta de que la IA tiene el potencial de reemplazarnos.” —Jessica Randall, Grupos de Desarrolladores de Google Jessica Randall, una matemática sudafricana de los Grupos de Desarrolladores de Google, dice que sintió un creciente miedo existencial colectivo entre los jóvenes matemáticos. “Podía sentir que todos estaban preocupados, porque no habían pensado tan lejos,” dice. “Fue como una gran bomba que nos impactó, y ciertamente empezamos a darnos cuenta de que la IA tiene el potencial de reemplazarnos.” Algunos matemáticos establecidos, incluido He, parece que están cómodos con que la IA asuma tareas que actualmente son exclusivas de los matemáticos humanos. Eso es porque solo quieren conocer las respuestas a las preguntas más grandes en matemáticas—como los seis problemas restantes del Premio Milenio—aunque la IA lo haga todo. “Muchos matemáticos son pragmáticos y solo quieren entender. Venderían su alma por la solución a un problema,” bromea Avigad. “Lo que sea que se necesite, ¿verdad?” Pero este campamento de “solo quiero saber” no es ni mucho menos la única facción: la mayoría de los matemáticos no esperan ni desean que la IA los reemplace por completo. En cambio, están surgiendo dos amplias alternativas. La primera es una aspiración centrada en el ser humano que prioriza la comprensión humana de las matemáticas y trata la IA como una herramienta, como una calculadora. La segunda es una visión colaborativa de “el trabajo en equipo hace que el sueño se cumpla,” donde humanos e IA trabajan juntos para abordar problemas que ninguno de los dos podría resolver solo. El Papel Humano en las Matemáticas Los números son “una manera de llegar a un acuerdo.” —Akshay Venkatesh, Universidad de Princeton El Medallista Fields y matemático de Princeton Akshay Venkatesh ha estado pensando sobre este tema desde el punto de vista centrado en el ser humano durante años. En 2022, utilizó su Simposio de Medallas Fields para implorar a la comunidad matemática que considerara profundamente lo que la IA podría significar para la práctica de las matemáticas. En ese momento, la idea de que la IA pudiera reemplazar a los matemáticos parecía descabellada. Ahora, dice, “estamos llegando al punto en que, al menos para algunas tareas con razonamiento matemático abstracto, las computadoras están volviéndose competitivas con los humanos.” Para Venkatesh, la pregunta no es solo qué pueden hacer las computadoras, sino para qué sirve la matemática. “A veces pienso que cuando usamos números, no se trata tanto de que describimos fenómenos que son intrínsecamente numéricos, sino que podemos estar de acuerdo exactamente en lo que significan los números,” dice. “Es una forma de llegar a un acuerdo.” La matemática Maia Fraser, experta en aprendizaje automático de la Universidad de Ottawa, comparte este sentimiento. Ella dice que la alegría que obtiene de las matemáticas es algo distintivamente humano que integra la mente subconsciente y consciente. Describe comenzar con una sensación intuitiva de que cierto algo debería ser cierto y gradualmente sacar algo que pueda expresar en una prueba rigurosa. Comunicar y compartir estos pensamientos profundamente arraigados es “una forma de inteligencia colectiva que es algo hermoso sobre el espíritu humano,” dice. De acuerdo con estos argumentos, una prueba de IA de una conjetura matemática que se ha resistido tenazmente a los esfuerzos humanos sería útil solo si es comprensible para los humanos. “El que la declaración pueda ser probada por la IA ya es información útil,” concede Fraser. “Pero entonces sigue siendo un problema abierto encontrar una prueba humana elegante y hermosa.” Incluso si no existe tal prueba, dice, buscarla “sigue siendo un esfuerzo valioso.” IA y el Futuro de la Colaboración Matemática Un enfoque más colaborativo hacia la IA en matemáticas proviene de Terence Tao, quien compitió por primera vez en la olimpiada de matemáticas a la edad de 10 años. En 1986, 1987 y 1988, ganó medallas de bronce, plata y oro, respectivamente, convirtiéndose en el ganador más joven de cada una de las tres medallas en la historia de la olimpiada. Ahora, como Medallista Fields y profesor en la Universidad de California, Los Ángeles, ha ganado una reputación como uno de los matemáticos más dotados que existen. A diferencia de algunos de sus colegas, Tao no es despectivo hacia la IA ni teme a ella. En cambio, la ve como el catalizador para un cambio fundamental en la disciplina—una transición hacia lo que él llama “grandes matemáticas.” Visualiza un futuro de colaboraciones a gran escala y descentralizadas entre humanos y máquinas, donde las tareas matemáticas complejas pueden ser fraccionadas, con los humanos reclamando las partes creativas y la IA haciendo la mayor parte del trabajo técnico. Tres Futuros para la IA en Matemáticas IA como herramienta IA como socio IA como oráculo Papel de IA Asistente Colaborador Investigador autónomo ¿Qué importa más? Comprensión humana Descubrimiento compartido Respuestas Ya, Tao está experimentando con este concepto, trabajando en problemas junto con numerosos colaboradores en línea, algunos utilizando herramientas de IA. “Hace cien años, casi cada artículo matemático era de un solo autor,” dice. “Pero ahora colaboro con personas que nunca he conocido—y tal vez en el futuro, ni siquiera sabré si son IA o personas reales.” La clave de la visión de Tao es única en el ámbito matemático: formalización. Cuando una prueba se traduce en código y se verifica paso a paso por asistentes de prueba, elimina cualquier posibilidad de error o deshonestidad humana. Este enfoque cambia la forma en que funciona la colaboración, porque la confianza se establece a través de la verificación en lugar de la reputación o la relación. Una idea de un investigador desconocido o incluso un aficionado puede ser tomada en serio si tiene una prueba formal. “Si no fuera por esta capa de verificación formal, abrir proyectos sin ningún tipo de salvaguardas simplemente sería un desastre,” añade Tao. “Pero en matemáticas, podemos verificar completamente las salidas, y esto realmente filtra una gran parte de las tonterías.” Los Riesgos de la IA en las Matemáticas Desde los jóvenes investigadores en el Foro de Laureados de Heidelberg hasta algunos de los nombres más grandes en el campo, todos los matemáticos parecen coincidir en un punto: la IA tiene el potencial de transformar su disciplina. Pero hay mucho menos consenso sobre lo que esa transformación significará en la práctica. Algunos se preocupan por la accesibilidad de las herramientas de IA. Tradicionalmente, los matemáticos han requerido poco más que intuición, capacitación y un bolígrafo y papel para avanzar en su campo. Si este proceso lento y deliberativo ya no es valorado por la sociedad, y particularmente por los financiadores de investigación, entonces las matemáticas podrían convertirse en una actividad elitista, practicada solo por organizaciones selectas que pueden permitirse trabajar con modelos de IA propietarios. Otra preocupación es la motivación. A medida que los sistemas de IA asuman más del trabajo, el incentivo para relacionarse profundamente con problemas difíciles puede debilitarse. Venkatesh de Princeton dice que el largo proceso humano de formular y comprender una prueba puede ser difícil de justificar, no solo para los financiadores, sino incluso para los propios matemáticos. “Ha habido momentos en los que he pasado años pensando en algo, y lentamente he luchado por entenderlo,” dice. “Si tu computadora puede hacer grandes partes de eso por ti, ¿tendrás la motivación para pasar ese tiempo?” Esa preocupación se extiende a la próxima generación. Si los estudiantes pueden utilizar la IA para llegar directamente a las respuestas, lo más probable es que lo hagan. Pero cada vez que saltan la lucha, se pierden una oportunidad de construir las bases de su propia intuición única. Con el tiempo, algunos temen que la próxima generación de matemáticos pueda sufrir una forma de atrofia intelectual, incapaz de pensar fuera de la caja de IA que los entrenó. En respuesta a tales temores, la comunidad matemática está tomando acciones. Individuos están escribiendo ensayos, organizando talleres y debatiendo en revistas, mientras que instituciones y grupos comunitarios desarrollan directrices sobre cómo debería usarse la IA en la investigación y publicación. De hecho, los matemáticos están aplicando el mismo rigor y curiosidad que utilizan todos los días para enfrentarse a los desafíos de la IA. En conjunto, estos esfuerzos reflejan un amplio esfuerzo por tratar de mantener el control sobre la dirección de las matemáticas en la era de la IA. Entonces, ¿la IA está extrayendo el alma de las matemáticas? De alguna manera, está haciendo lo contrario. Está forzando a los matemáticos a confrontar profundas preguntas sobre qué son las matemáticas, por qué han dedicado sus vidas a ellas y el propósito que sirven en la sociedad. Al mismo tiempo, sin embargo, está reconfigurando la práctica de las matemáticas de una manera que puede ser difícil de revertir. “Las matemáticas me hacen un mejor solucionador de problemas en problemas normales, porque enmarcan mi mente para pensar de una manera muy lógica y racional,” dice Randall, quien anotó el miedo existencial en el Foro de Heidelberg. “Ayuda en todos los aspectos de mi vida.” A medida que la IA transforma las matemáticas, muchos investigadores se preguntan si los futuros matemáticos podrán decir lo mismo.