Mit jelent matematikusnak lenni, amikor a mesterséges intelligencia végzi a számítást?

A kétezres évek közepén, amikor a Killers és a Franz Ferdinand zenéje minden kocsmából és éjszakai szórakozóhelyről hallatszott, napjaimat és éjszakáimat egy alkalmazott matematikai doktori disszertáció megszerzésének küzdelmében töltöttem. Kutatásom a folyadékkristályokban lévő speciális fényhullámok interakcióinak szimulációjára és az ezen interakciók megértésére szolgáló egyszerű egyenletek használatára összpontosított. Amikor most visszatekintek a disszertációmra, a folyadékkristályos technológia elavultnak tűnik, és azt képzelem, hogy a munkámat AI segítségével néhány nap, esetleg órák alatt el lehetett volna végezni. De ugyanez nem mondható el a tiszta matematikai doktoranduszokról, akikkel a szűk irodámban ültem az Edinburghi Egyetemen. Akkoriban sajnáltam ezeket a kollégáimat, akik napról napra ültek az íróasztaluknál, látszólag tépkedték a hajukat, és nem haladtak előre. (Bár én is küzdöttem, legalább mindig volt némi előrehaladásom.) Amikor befejeztük, és külön utakra váltottunk, voltak, akik még egy cikket sem publikáltak. Most, visszatekintve, végre megértem, miért dolgoztak évekig olyan absztrakt matematikai problémákon, amelyek csak néhány embert érdekelnek a világon. Nem volt ez arrogancia, ahogy azt akkor gondoltam; nem próbálták bizonyítani felsőbbrendű intelligenciájukat azzal, hogy ők oldják meg először a látszólag megoldhatatlan matematikai problémát. Ez nem volt még masokizmus sem – nem volt számukra büntetés valamilyen elképzelt hiányosságért. Rájöttem, hogy az hosszú út, amely az értelemhez vezetett, örömet, elégedettséget és értelmet adott számukra. „Néha az értelem nagyon szépnek tűnik.” —Jeremy Avigad, Carnegie Mellon Egyetem „Néha az értelem nagyon szépnek tűnik. Néha ez a teljesítmény érzése, mint egy maraton lefutása,” meditál a Carnegie Mellon Egyetem matematikusa, Jeremy Avigad. „De ez nem egészen az: ez csak egy csodálatos érzés, amikor hosszasan és szorgalmasan gondolkodtál valami bonyolultról, nehézről, és akkor — hirtelen — minden összeáll.” Ez az érzés hajtotta végig a matematikusokat a történelem során. Hasonlóképpen, ahogyan a matematikusok ezt az érzést keresik, az az évszázadok során alig változott. A matematikusok észreveszik vagy elképzelik a számokban, formákban vagy logikai szerkezetekben lévő kapcsolódásokat, mintákat vagy tulajdonságokat. Ebből írnak konjektúrákat — igazolatlan spekulációs állításokat. Ők vagy más matematikusok ezután logikai érvelést és a matematika eszközeit alkalmazzák, gyakran kreatív módon, hogy bizonyítsák vagy megcáfolják ezeket a konjektúrákat. Végül más matematikusok ellenőrzik (vagy megkérdőjelezik) a bizonyítékokat. Elkerülhetetlenül, ez a folyamat rengeteg gondolkodási időt követel meg. „Elmentem egy tiszta matematikai táborba, ahol olyan nehéz matematikai problémákkal ültünk egy órán át, hogy senki sem mondott semmit — mindenki csak gondolkodott,” mondja Krystal Maughan, egy matematikus és számítástechnikus, aki már Ph.D. fokozatot szerez a Vermonti Egyetemen. „De aztán együtt dolgoztunk és valamilyen módon kibogoztuk a problémát.” Ez a matematikai öröm korok óta működik. De a mai AI rendszerek kezdenek behatolni ebbe a lassú, megfontolt folyamatba. Ha ezt a tendenciát logikus következtetésre visszük, mi történik, ha az AI teljesen szükségtelenné teszi a matematikusok küzdelmét? Talán az AI teljesen háttérbe szorítja az emberi létet? Az AI Növekvő Szerepe a Matematikában Évtizedek óta a számítás felgyorsította a matematikai fejlődést. Ez ötven évvel ezelőtt kezdődött, amikor a matematikusok számítógépet használtak a négy szín tételének bizonyítására, amely azt kérdezi, hogy bármely térkép színezhető-e legfeljebb négy színnel, úgy, hogy a szomszédos területek ne osztozzanak az ugyanazon színen. A válasz igen, és a számítógép bizonyította, ellentmondásosan, 1,936 eset ellenőrzésével olyan módon, ahogyan azt az ember valósággal nem tudná ellenőrizni. Mégis, a számítási korszakban, még a masszív számítási erőforrásokra támaszkodó bizonyítékoknál is, az emberi matematikus szerepe központi maradt. Az emberek konjektúrákat javasolnak, az intuíció irányítása alatt. Stratégiákat dolgoznak ki a bizonyításukhoz, kreativitás és tapasztalat irányítása alatt. És az emberek ellenőrzik, hogy ezek a bizonyítékok helyesek-e. Most az AI kihívást jelent a status quo számára. Csak néhány év alatt a nagy nyelvi modellek (LLM) „stochasztikus papagájokból”, akiknek alig több a képességük, mint az internetről összeszedett alap matematikát megismételni, fejlett matematikai érvelő gépekké fejlődtek. Tavaly nyáron a Google DeepMind és az OpenAI rendszerei elérték azt a szintet, amely megfelel a világ legtehetségesebb középiskolás matematikusaiként, aranyérmes státuszt szerezve a Nemzetközi Matematikai Olimpián. Ebben az éves versenyben a résztvevőknek hat, hírhedten nehéz problémát kell megoldaniuk a matematika különböző területeiről. Az idén korábban a Google DeepMind kísérleti AI rendszere, az Aletheia egy még jelentősebb mérföldkövet ért el, amikor önállóan publikálható Ph.D. szintű kutatási eredményeket állított elő. Bár a munka matematikailag homályos — szerkezeti konstansok számítása az aritmetikai geometriában — a jelentősége az összetett érvelésben rejlik, amelyet egy megoldatlan matematikai probléma megközelítése során mutatott. Éppen nemrégiben egy új, általános célú AI rendszer az OpenAI-tól megcáfolt egy fontos konjektúrát a kombinatorikus geometriában. Ez az eredmény fontos lenne egy nagy matematikai folyóiratban való publikálásra, ha emberek lettek volna a szerzők, és a legjobb matematikusok ezt a teljesítményt mérföldkőnek tekintették az AI számára a matematikában, független, eredeti és kifinomult gondolkodás bemutatásával. Egy másik változás az LLM-ek és a több mint egy évtizede létező bizonyításegyeztető matematikai eszközök kombinálásából következett. Ezek a rendszerek – mint az Isabelle, Lean és Rocq – olyan specializált programozási nyelvek, amelyek lépésről lépésre ellenőrzik a matematikai bizonyítékokat, igazolva azok logikai helyességét. Hagyományosan a matematikusoknak manuálisan kellett átültetniük tételeiket és bizonyítékaikat ebbe a gép által olvasható formátumba, amely egy fárasztó folyamatot jelentett, amelyet formalizációnak neveznek. Most az LLM-ek kezdik eltávolítani ezt a szűk keresztmetszetet, automatizálva az informális bizonyítékok formális kódra való fordítását, amelyet a bizonyítégegyeztetők tudnak ellenőrizni. Az Emberi Bizonyíték a Formális Bizonyítékhoz Euclid híres bizonyítása arról, hogy végtelen sok prímszám létezik, nagyon másképp néz ki, amikor a Leanben, egy bizonyítégegyeztetőben formálásra kerül. Az emberi matematikusok rutinszerűen kihagynak lépéseket, és támaszkodnak a közös megértésre; a formalizáció minden feltételezést és következtetést világossá tesz, hogy a számítógép ellenőrizhesse a bizonyítékot. EMBERI BIZONYÍTÉK Azt akarjuk bemutatni, hogy minden természetes szám n esetén van egy p prímszám, amely legalább n. Vegyük n! + 1 legkisebb prímtényezőjét. Hívjuk p-nek. Ez nyilvánvalóan prím. Annak bizonyításához, hogy p legalább n, tételezzük fel, hogy ellentmondás, hogy nem az. p akkor világosan osztja n!-t, tehát osztja (n! + 1) − n! = 1-öt is. De ez lehetetlen: p prím, és 1-nek nincsenek prímtényezői. Tehát p legalább n. LEAN BIZONYÍTÉK /- Euclid tétele a **prímek végtelen számáról**. Itt a következő formában: minden `n`-re létezik egy `p` prímszám, amely `p ≥ n`. -/ theorem exists_infinite_primes (n : ℕ) : ∃ p, n ≤ p ∧ Prime p := 1let p := minFac (n ! + 1) have f1 : n ! + 1 ≠ 1 := ne_of_gt <| succ_lt_succ <| factorial_pos _ 2have pp : Prime p := minFac_prime f1 have np : n ≤ p := le_of_not_ge fun h => have h1 : p ∣ n ! := dvd_factorial (minFac_pos _) h 3have h2 : p ∣ 1 := (Nat.dvd_add_iff_right h1).2 (minFac_dvd _) pp.not_dvd_one h2 ⟨p, np, pp⟩ ❶ A meghatározásoknak világosnak kell lenniük. A bizonyíték formálisan úgy definiálja p-t, mint n! + 1 legkisebb prímtényezőjét, mielőtt használhatná azt az értéket. ❷ A formális bizonyítékok korábbi formális bizonyítékokra építenek. Itt a Lean egy korábban ellenőrzött tételt hív meg, amely megmutatja, hogy p prím. ❸ A rejtett logikai lépések világossá válnak. Egy emberi matematikus azt írhatja, hogy p „világosan” osztja 1-et. A Lean megköveteli, hogy a bizonyíték formális tételre hivatkozzon a oszthatóságról és pontosan megmutassa, hogy az a következtetés miért következik. Sidharth Hariharan technikai segítségével Az ilyen rendszerek változatai, amelyeket néha érvelő ügynököknek hívnak, egyre kifinomultabbá válnak. Februárban például a Math, Inc. nevű AI cég a Gauss nevű, ambiciózusan elnevezett érvelő ügynökét használták egy bizonyítás formálisítására, amely a matematikus Maryna Viazovska, az EPFL-től, Svájcból 2022-ben Fields-medált nyert. A Gauss először segítette az emberi matematikusokat Viazovska megoldásának formalizálásában a 8-dimenziós gömbcsomagolási problémára néhány nap alatt, majd önállóan formalizálta a bonyolultabb 24-dimenziós esetet mindössze két hét alatt. Az ilyen eredmények azt sugallják, hogy az AI már képes kezelni néhány matematikai feladatot, amelyeket hosszú ideig egyedül emberek végeztek. Ahogy a technológia fejlődik, az emberi matematikusok napi munkájának egyre több része valószínűleg az AI számára elérhetővé válik. Matematikusok Vitáznak az AI Felfedezésbeli Szerepéről Az emberi matematikusok „papok az orákulumok számára” válhatnak. —Yang-Hui He, Londoni Matematikai Tudományok Intézete 2025 szeptemberében részt vettem a 12. Heidelbergi Laureátus Fórumon — egy éves konferencián, amely több száz fiatal matematikust és számítástechnikai szakembert hoz össze intellektuális példaképeikkel. Az AI dominálta a beszélgetést, és már az elejétől fogva feszültség volt a levegőben. A beszélők egy olyan jövőt írtak le, amelyben a szuperhumán AI matematikusok felülmúlják az emberi tudást és képességeket: konjektúrákat alkotnak, megoldási területeket keresnek, bizonyítanak konjektúrákat, végül pedig ellenőrzik a bizonyítékokat és általánosítják az eredményeket, mindezt emberi részvétel nélkül. Ha ez a jövő megvalósul, Yang-Hui He, a Londoni Matematikai Tudományok Intézetéből, emlékezetesen kijelentette, hogy az emberi matematikusok „papokká válhatnak az orákulumok számára”. Miközben ilyen megdöbbentő jóslatok hangoztak a színpadon, tekintetem az anyányságra terelődött. A tömeg arca grimaszolt, izgult és óvatos pillantásokat váltott — a közönség kényelmetlensége kézzelfogható volt. Trill White, az ausztrál Deakin Egyetem hallgatója később felidézte, hogy ülve azon gondolkodott: „‘Ez pusztító. Mit fognak az emberek hozzátájárulni a matematikához? Lesz ez olyan, amit senki sem ért?” Éreztem, hogy ez minden meg fog változtatni.” „Kétségtelenül kezdtük észlelni, hogy az AI potenciálisan helyettesíthet minket.” —Jessica Randall, Google Fejlesztői Csoportok Jessica Randall, a Google Fejlesztői Csoportok dél-afrikai matematikusa azt mondja, hogy egy kollektív egzisztenciális félelem bontakozott ki a fiatal matematikusok között. „Éreztem, hogy mindenki aggódik, mert nem gondoltak ilyen messze előre,” mondja. „Olyan volt, mint egy nagy bombatalálat, ami ránk szakadt, és bizonyosan kezdjük észlelni, hogy az AI potenciálisan helyettesíthet minket.” Néhány elismert matematikus, köztük He, úgy tűnik, kényelmesen fogadja az AI-t, hogy olyan feladatokat végezzen, amelyek jelenleg emberi matematikusok hatáskörébe tartoznak. Ennek az az oka, hogy csak tudni akarják a legnagyobb matematikai kérdések válaszait — mint például a hat megmaradt Millenniumi Díj Probléma — akkor is, ha az AI mindent elvégez. „Sok matematikus pragmatikus, és egyszerűen meg akarják érteni. Eladnák a lelküket egy probléma megoldásáért,” viccelődik Avigad. „Bármi áron, ugye?” De ez a „csak tudni akarom” tábor nem az egyetlen frakció: a legtöbb matematikus nem reméli vagy várja, hogy az AI teljesen helyettesíti őket. Ehelyett két széles alternatíva kezd körvonalazódni. Az első egy emberközpontú törekvés, amely előnyben részesíti az emberi megértést a matematikában, és úgy tekint az AI-ra, mint egy eszközre, hasonlóan egy számológéphez. A második egy együttműködő „csapatmunka tesz ígéretet” jövőkép, ahol az emberek és az AI együtt dolgoznak, hogy olyan problémákat oldjanak meg, amelyeket egyedül egyikük sem tudna. Az Emberi Szerep a Matematikában A számok „módot nyújtanak arra, hogy egyetértsünk.” —Akshay Venkatesh, Princeton Egyetem, Fields Médai holder és Princeton matematikus Akshay Venkatesh évek óta az emberközpontú nézőpontból gondolkodik erről a témáról. 2022-ben a Fields Medal Symposium-on arra kérte a matematikai közösséget, hogy mélyen fontolja meg, mit jelenthet az AI a matematika gyakorlatához. Abban az időben az AI-val a matematikusok helyettesítése elérhetetlennek tűnt. Most azt mondja, „elérkezett az időpont, amikor legalább néhány absztrakt matematikai érvelést igénylő feladatban a számítógépek versenyképesek az emberekkel.” Venkatesh számára a kérdés nemcsak az, hogy mit tudnak a számítógépek, hanem az is, hogy mire való a matematika. „Néha azt hiszem, amikor használjuk a számokat, nem annyira azt írjuk le, hogy a jelenségek intrinzikusan numerikusak, hanem hogy mindannyian pontosan egyetérthetünk, hogy mit is jelentenek a számok,” mondja. „Ez egy mód arra, hogy egyetértsünk.” A matematikusok és gépi tanulási szakértők közül Maia Fraser, az Ottawai Egyetemről osztja ezt az érzést. Azt mondja, hogy a matematikából származó öröm egy kifejezetten emberi dolog, amely integrálja a tudatalattit és a tudatos elmét. Azt írja le, hogy intuitív érzetből indul, hogy valami igaznak tűnik, és fokozatosan hozzásegíti ahhoz, hogy valamit rigorózus bizonyítékban fejezzen ki. Az ezekből a mélyből származó gondolatok kommunikálása és megosztása „a kollektív intelligencia egy formája, ami gyönyörű az emberi lélekben,” mondja. Ezek alapján egy matematikai konjektúra AI általi bizonyítása, amely makacsul ellenállt az emberi erőfeszítéseknek, csak akkor lenne hasznos, ha az emberek számára érthető. „Hogy a kijelentés AI által bizonyítható, már önmagában hasznos információ,” ismeri el Fraser. „De akkor is nyitott probléma egy elegáns, gyönyörű emberi bizonyíték kifejlesztése.” Még ha ilyen bizonyíték nem is létezik, azt mondja, ennek keresése „még mindig értékes törekvés.” AI és a Matematikai Együttműködés Jövője Az AI matematikában való együttműködőbb megközelítése Terence Tao-tól jön, aki 10 évesen először versenyzett a matematikai olimpián. 1986-ban, 1987-ben és 1988-ban bronz, ezüst és aranyérmet nyert, ezzel ő lett a legfiatalabb nyertese mindhárom éremnek az olimpiák történetében. Most Fields Medálist és professzort a Los Angeles-i Kaliforniai Egyetemen, egyike a legtehetségesebb matematikusoknak, akik ma élnek. Tao, néhány kollégájával ellentétben, sem elutasító, sem félelmetes az AI-val szemben. Inkább katalizátornak tekinti a tudományágban történő alapvető változásra — a „nagy matematikára” való átmenetre. Egy olyan jövőt képzel el, ahol az emberek és a gépek közötti nagyszabású, decentralizált együttműködési formák léteznek, ahol a bonyolult matematikai feladatokat darabjaira lehet szedni, az emberek kreatív részeit maguknak ígérve, míg az AI a technikai munkát elvégzi. Három Lehetséges Jövő az AI Számára a Matematikában AI, mint eszközAI, mint partnerAI, mint orákulum AI szerepeSegítőEgyüttműködőAutonóm kutató Mi számít a legjobban?Emberi megértésKözös felfedezésVálaszok Tao már kísérletezik ezzel a koncepcióval, problémákon dolgozik számos online együttműködőjével, akik közül néhányan AI eszközöket használnak. „Száz évvel ezelőtt szinte minden matematikai cikk egy szerző írása volt,” mondja. „De most emberekkel működöm együtt, akivel soha nem találkoztam — és talán a jövőben nem is fogom tudni, hogy AI-e vagy valódi ember.” Tao víziójának kulcsa egyedülállóan matematikai: formalizáció. Amikor egy bizonyítékot kódra fordítanak és lépésről lépésre ellenőriznek a bizonyítégegyeztetők, ez megszünteti az emberi hiba vagy csalás lehetőségét. Ez a megközelítés megváltoztatja, hogyan működik az együttműködés, mert a megbízhatóságot a verifikáció, nem pedig a hírnév vagy a kapcsolat döntőbírása alapozza meg. Egy ismeretlen kutató vagy akár egy amatőr ötlete komolyan vehető, ha van egy formális bizonyítéka. „Ha nem lenne ez a formális verifikációs réteg, a projektek megnyitása mindenféle védőintézkedés nélkül egyszerűen katasztrófa lenne,” teszi hozzá Tao. „De a matematikában teljesen ellenőrizhetjük és verifikálhatjuk a kimeneteleket, ami tényleg kiszűr egy csomó felesleges dolgot.” Az AI Kockázatai a Matematikában A Heidelberg Laureátus Fórum fiatal kutatóitól a szakterület legnagyobb nevéig, a matematikusok mind úgy tűnik, egyetértenek abban, hogy az AI potenciálisan átalakíthatja tudományágukat. De sokkal kevesebb konszenzus van arról, hogy ez az átalakulás mit fog jelenteni a gyakorlatban. Néhányan aggódnak az AI eszközök hozzáférhetősége miatt. Hagyományosan a matematikusoknak csupán intuícióra, képzésre és egy tollra és papírra volt szükségük, hogy előre haladjanak a területükön. Ha ez a lassú, megfontolt folyamat többé már nem számít a társadalom számára, különösen a kutatási finanszírozók számára, akkor a matematika egy elit cselekvés válhat, amit csak azon szervezetek végezhetnek, akik megengedhetik maguknak, hogy együtt dolgozzanak a szabadalmaztatott AI modellekkel. Egy másik aggodalom a motiváció. Ahogy az AI rendszerek egyre több feladatot elvégeznek, a nehéz problémák mélyebb megértésére való ösztönzés talán gyengülhet. Princeton Venkatesh szerint a bizonyítékok megalkotásának és megértésének hosszú emberi folyamata nehezen indokolható, nemcsak a finanszírozóknak, hanem akár a matematikusok számára is. „Volt már olyan, hogy évekig gondolkodtam valamin, és lassan küzdöttem, hogy megértsem,” mondja. „Ha a számítógép már nagyobb részeket el tud helyettesíteni, lesz-e motivációd erre az időre?” Ez az aggodalom kiterjed a következő generációra. Ha a diákok AI-t használhatnak azonnali válaszokhoz, valószínűleg ezt fogják tenni. Viszont minden alkalommal, amikor kihagyják a küzdelmet, elszalasztanak egy lehetőséget, hogy megalapozzák a saját egyedi intuíciójukat. Idővel egyesek aggodalmukat fejezik ki, hogy a következő matematikus generációja formális intellektuális atrófiát szenved, képtelenek gondolkodni az AI doboza mellett, amely tréningezte őket. Ilyen félelmekre válaszul a matematikai közösség cselekszik. Az emberek esszéket írnak, workshopokat szerveznek és vitatkoznak folyóiratokban, míg az intézmények és közösségi csoportok iránymutatásokat fejlesztenek, hogy az AI miként használható a kutatásban és publikálásban. Valóban, a matematikusok a mindennapi életükben használt ugyanolyan szigorúsággal és kíváncsisággal kezelik az AI kihívásait. Ezek az erőfeszítések egy átfogó törekvést tükröznek, hogy megőrizzék a matematika irányítását az AI korában. Tehát, az AI kiszínezi a matematika lelkét? Egy szempontból éppen az ellenkezőjét teszi. Kényszeríti a matematikusokat mély kérdésekkel szembesülni arról, hogy mi is a matematika, miért szentelték életüket ennek, és mi célja van a matematikának a társadalomban. Ugyanakkor azonban átalakítja a matematika gyakorlatát olyan módon, amelyet nehéz lehet visszafordítani. „A matematika jobb problémamegoldóvá tesz a normál problémák esetében, mert logikus, racionális gondolkodásra formálja az elmém,” mondja Randall, aki megjegyezte az egzisztenciális félelmet a Heidelbergi Fórumon. „Segít az életem minden aspektusában.” Ahogy az AI átalakítja a matematikát, sok kutató azon gondolkodik, hogy a jövő matematikusai képesek lesznek-e ugyanezt mondani.